[개미의 걸음 ADsP 3과목] 확률의 이해

확률

표본공간[S]에 있는 각 사건과 실수 P(A)가 대응하는 집합함수

• 부분집합인 각 사건에 대해 실수값을 가지는 함수의 확률 값
• P(A)는 A의 확률[0 ≤ P(A) ≤ 1 ,  P(S) =1]

표본공간[Sample Space, S(간혹 Ω로 표기)	모든 가능한 실험 결과들의 모임
사건[Event]	표본공간[S]의 부분집합
원소[Element]	나타날 수 있는 개별의 결과들을 의미
확률변수[Random Variable]	표본공간[S]의 각 원소 S가 단 하나의 실수 X에 대응하는 함수 정의역이 표본공간 치역이 실수값[0<y<1]인 함수

# 집합의 연산법칙

교환 법칙	A∪B=B∪A	A∩B=B∩A
결합 법칙	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
분배 법칙	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
드모르간[De Morgan] 법칙	(A∪B)c=Ac∩Bc	(A∩B)c=Ac∪Bc

확률의 성질

  ① P(A) = 1-P(A^c)

1=P(S)=P(A∪Ac)=P(A)+P(Ac)    →  A와 Ac는 배반사건[A∩Ac=ø]이므로  ∴ P(A)=1-P(Ac)

  ② P(ø) = 0

1=P(S)=P(S∪ø)=P(S)+P(ø)    →  S와 ø는 배반사건[S∩ø=ø]이므로  ∴ P(ø)=1-P(S)=0

  ③ A⊂B이면 P(A)≤P(B)

B=A∪(B∩Ac)  ,  A∩(B∩Ac)=ø이므로  ∴ P(A)≤P(B)  =  P(A∪(B∩Ac)  =  P(A) + P(B∩Ac)

  ④ 0≤P(A)≤1

ø⊂A⊂S에서 정리③에 의해 P(ø)⊂P(A)⊂P(S)  ∴ 0≤P(A)≤1

  ⑤ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)    → 확률의 덧셈정리

P(A∪B)  =  P(A∪(B∩Ac))  =  P(A) + P(B∩Ac)    →    A와 B∩Ac가 배반사건[A∩(B∩Ac)]  P(B)  =  P[(A∩B)∪(B∩Ac)]  = P(A∩B) + P(B∩Ac)    → A∩B와 B∩Ac가 배반사건[P(A∩B)∩P(B∩Ac)=ø] ∴ P(A∪B)  =  P(A) + P(B) - P(A∩B)

  ⑥ P(A∪BUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

 

 

확률변수의 종류

확률변수는 0이 아닌 확률을 갖는 실수값의 형태에 따라 이산형확률변수와 연속형 확률변수로 구분된다.

확률 변수의 종류	이산형 확률변수 [Discrete Random Variable]	연속형 확률변수 [Continuous Random Variable]
정 의	확률 변수 X가 유한 집합이거나 자연수의 부분집합과 일대일 대응일 때의 확률변수	임의의 구간을 설정해도 구간 내의 값을 측정할 수 없는 확률변수
확률분포함수	확률질량함수	확률밀도함수
확률변수X의 기대값	E(X) = ∑xif(xi)	E(X) = ∫xf(x)dx
확률변수X의 k차 적률	E(Xk) = ∑xikf(xi)	E(Xk) = ∫xkf(x)dx
확률변수[X]의 k차 중심적률	E[(X-μ)k] = ∑(xi-μ)kf(xi)	E[(X-μ)k] = ∫(x-μ)kf(x)

 

# 모분산[Population Variance, σ²]

σ²  =  E[(X-μ)²]  =  E[(X²-2μX+μ²)]  =  E(X²)-2μE(X)+μ² =  E(X²)-μ²

즉, 모분산은 [2차적률-(1차적률)²]으로 해석 가능

 

 

순열[Permutation]과 조합[Combination]

순열[Permutation]	순서고려
조합[Combination]	순서고려 X

 

 

복원추출 & 비복원 추출

복원추출	다음 표본 추출 전 추출된 표본이 복원되는 추출 방법
비복원추출	추출된 표본이 복원되지 않는 추출 방법

# 초기하 분포[Hypergeometric Distribution]

크기가 유한한 모집단으로부터 비복원 추출 시 나타나는 확률분포

ex> n = n1 + n2일때, r개 추출

ex> 100개[양품80, 불량20개] 중 5개를 추출할 때, 불량품이 0개인 확률은?

 

 

이항정리

        이항정리의 일반화[다항정리]

        파스칼 정리

• n개 중 r개를 뽑는 확률은 n-1개 중[1개를 미리 뽑았을 때] r개에 포함이 됨 경우와 안된 경우의 합

 

 

조건부확률

사건 B가 주어졌을 때 사건 A가 일어날 확률 [P(A|B)]

    확률의 곱셈법칙

    전확률의 정리

 

 

베이즈 정리

 

 

독립사건

사건 A와 B가 서로 독립인 필요충분조건은 P(A∩B)=P(A)XP(B)이다.

• P(A|B) = P(A)
• 사건 A와 B가 독립이면 A와 B^c, A^c와 B, A^c와 B^c도 모두 독립